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Rentrée Master 2012 - Planning

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Sur le modèle des rentrées de M1 du département de mathématiques de l'Ecole Polytechnique, la FMJH propose une rentrée de master (M1) commune qui accueillera les 5, 6 et 7 septembre 2012 les étudiants de M1 du département de mathématiques d'Orsay et ceux du département de Mathématiques de l'Ecole polytechnique, de l'ENS Cachan et l'Université Versailles St Quentin. Ils sont plus largement ouverts aux étudiants de M1 voire M2 intéressés. 

L'inscription est obligatoire : merci de cliquer ici pour le formulaire.

Des mini-cours de 1 heure à 4 heures 30 seront donnés à l'IHES (Bures sur Yvette) [plan d'accès]. Ces cours, non sanctionnés par un examen, ont pour but de donner une perspective ouverte et actuelle de sujets mathématiques.

Les intervenants sont : Vincent Calvez, Raphaël Cerf, Christophe Dupont, Christophe Giraud, Florent Jouve, Vito Mandorino, Emmanuel Militon et Pierre Pansu.

Voir les photos de la journée.

Voir les présentations à partir de ce lien

Le planning est le suivant avec des sessions parallèles  :

Raphaël Cerf (Université Paris-Sud)
Population critique et seuil d'erreur pour l'émergence d'une quasi-espèce
En 1971, Manfred Eigen proposa un modèle pour comprendre l'évolution d'une population de macromolécules. Une découverte fondamentale d'Eigen est l'existence d'un seuil d'erreur pour le taux de mutation. Au dessus de ce seuil, la population devient totalement aléatoire. En dessous de ce seuil, une quasi--espèce se forme autour de la macromolécule la plus adaptée. Cependant, le modèle d'Eigen est défini pour une population infinie. Nous montrerons comment les notions de seuil d'erreur et de quasi--espèce se formulent dans un modèle probabiliste classique de génétique pour une population finie.

Pierre Pansu (Université Paris-Sud) - Présentation sur ce lien
Quasi-cristaux
Dès 1885, Pierre Curie a proposé un principe variationnel qui détermine la forme d'équilibre de certains cristaux. Il généralise celui qui fait que les bulles de savon sont sphériques. Comment un tel principe peut-il produire des (quasi-)cristaux en forme de dodécaèdres ? Quel principe peut expliquer que les enveloppes de certains virus ont une forme icosaédrale ? Pour le mathématicien, ces questions se rattachent à l'isopérimétrie. La version continue (bulles) est un beau chapitre de la géométrie différentielle. La version discrète (cristaux) se rapproche de l'informatique.

Florent Jouve (Université Paris-Sud)
Sur les propriétés génériques de certains objets arithmétiques
De nombreuses structures algébriques interviennent de manière cruciale en théorie des nombres. Les matrices à coefficients entiers, les polynômes à coefficients dans un corps k de "nature arithmétique" (par exemple le corps des rationnels ou un corps de dimension finie sur Q, ou encore un corps Z/pZ avec p premier) sont des exemples d'objets mathématiques dont la compréhension est cruciale en arithmétique. Quelles sont les propriétés naturelles vérifiées par ces objets avec grande probabilité? On "espère" par exemple que "la plupart" des polynômes à coefficients entiers sont irréductibles sur Q ou qu'un sous-ensemble de $ SL_2(Z/pZ) $ pris au hasard "croît" rapidement lorsque l'on multiplie ses éléments entre eux. Dans ce mini-cours, on donnera un sens précis à ces questions et l'on discutera quelques exemples de résultats du type mentionné ci-dessus en mettant l'accent sur les estimations explicites que l'on peut obtenir dans certains cas.

Vincent Calvez (présentation sur ce lien)
Exemples de propagations d'ondes en biologie : la bactérie E. coli et le crapaud buffle.

  1. Mouvement d'E. coli bandes organisées (équations de chemotaxis).
    On observe des ondes de concentration au sein de colonies d'E. coli. Dans des micro-canaux, la densité de bactéries se déplace à vitesse constante, à profil constant. Je présenterai la démarche de modélisation qui permet de décrire ce phénomène avec précision. Je montrerai la richesse des modèles obtenus du point de vue de l'analyse mathématique (explosion des solutions en temps fini, comportement asymptotique).
    mots-clés : équations cinétiques, équations de transport-diffusion, limite de diffusion, comportement asymptotique, explosion des solutions.
  2. Front d'invasion des crapauds buffles en Australie (équations de réaction-diffusion).
    Je présenterai des modèles simples qui décrivent les fronts d'invasion d'espèces biologiques. Je présenterai les résultats analytiques de base (calcul de la vitesse du front, calcul du profil), et la méthode qui permet de suivre le mouvement du front en régime asymptotique. Si le temps le permet je montrerai comment inclure des effets de mutation dans ce modèle.
    mots-clés ; équations de réaction-diffusion (Fisher-KPP), asymptotique WKB, équation de Hamilton-Jacobi.

 

Christophe Dupont (Université Paris-Sud)
Dynamique ergodique
La théorie ergodique étudie les systèmes dynamiques d'un point de vue statistique. Les régimes stationnaires portent des mesures de probabilités invariantes qu'il s'agit de comprendre. Après avoir donné des exemples, nous introduirons le théorème de récurrence de Poincaré et le théorème ergodique de Birkhoff. Les applications sont multiples : nous aborderons en particulier des questions de théorie des nombres et de dynamique holomorphe.

Emmanuel Militon (Université Paris-Sud)
Introduction aux quasi-morphismes
Dans cet exposé, nous définirons et donnerons les premières propriétés d'une notion assez simple, celle de quasi-morphisme, qui permet de démontrer des propriétés a priori non-triviales de certains groupes.
 

Vito Mandorino (Université Paris-Sud)
Introduction aux applications twist sur le cylindre
Les applications twist sur le cylindre sont des difféomorphismes avec la propriété de "tordre le cylindre" en déviant la verticale. Dans cet exposé on va introduire ces applications, montrer comment elles apparaissent assez naturellement en mécanique céleste, donner un aperçu de leurs propriétés dynamiques et leurs liens avec d'autres objets mathématiques (flots géodésiques, billiards).
 

Christophe Giraud (Ecole polytechnique) - Présentation sur ce lien
Modélisation en écologie et génétique des population
La modélisation joue un rôle très important en écologie et la complexité du vivant requiert le développement de modèles mathématiques sophistiqués. Nous explorerons le modèle le plus simple de génétique de population et verrons comment, lorsqu'on le regarde à une grande échelle de temps, ce modèle est bien approximé par un modèle simple d'arbres généalogiques. Les modèles que nous décrirons reposent sur différents concepts issus des processus stochastiques. Nous introduirons ces concepts au fur et à mesure pour progresser vers la compréhension mathématiques de la génétique d'une population non soumise à une pression de sélection.