Résumés 2020
Patrick Massot
Titre : “Comment et pourquoi expliquer des mathématiques à un ordinateur ?"
Lucia Di Vizio
Titre : "Théorie de Galois des équations aux différences, transcendance différentielle et combinatoire, ou l'histoire du comment la n-ième preuve du Théorème de Hölder peut ouvrir des nouveaux horizons."
Résumé :
Nous allons expliquer des développements récent en combinatoire basés sur la théorie de Galois des équations fonctionnelles. Le départ a été donné par la formalisation des théories galoisiennes ayant pour but de prouver de façon "systématique" des énoncés du type du théorème de Hölder pour la fonctions Gamma d'Euler.
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Léonard Cadilhac
Titre : Sur les preuves d'existence par abondance
Résumé :
A common strategy to show the existence of certain mathematical objects is to prove their bundance. For example, the existence of transcendental numbers may be deduced from the fact that only countably many real numbers are algebraic and hence "most" real numbers are transcendental. This approach may seem crude but wrongly so since it has many interesting applications, even in modern mathematics. In this talk, I will illustrate it by discussing various examples, starting with historical ones and moving on to more exotic objects such as Ramanujan graphs.
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Ioann Vasilyev
Titre : "Analyse harmonique, analyse géométrique et analyse des équations aux dérivées partielles de la mécanique des fluides"
Résumé :
Dans cet exposé, je vais vous parler de certains problèmes mathématiques qui m'intéressent. Voici quelques questions que je vais discuter : principe d'incertitude en analyse harmonique (en particulier le théorème de Beurling--Malliavin), problème de Plateau dans les espaces de Banach et l'existence des solutions au système de Navier--Stokes à la densité variable.
Frédéric Chazal
Titre : "Les données ont-elles une forme ? Une petite introduction à l’analyse topologique des données"
Résumé :
L'Analyse Topologique des Données (TDA) est un domaine récent, à la croisée entre mathématiques, algorithmique et statistique, qui connait un succès croissant depuis quelques années. Il vise à comprendre, analyser et exploiter la structure topologique et géométrique de données souvent représentées par des nuages de points dans des espaces euclidiens ou des espaces métriques plus généraux. Avec l'émergence de la théorie de la persistance topologique, la géométrie et la topologie algorithmique ont fourni des outils mathématiques et algorithmiques nouveaux et efficaces pour aborder ces questions. Dans cet exposé, qui ne nécessite pas de prérequis particulier en topologie, nous mettrons en lumière quelques problématiques qui se posent lorsqu’on cherche à estimer des propriétés topologiques ou géométriques à partir de données discrètes et nous présenterons quelques approches et techniques fondamentales (homologie persistante) permettant de s’y attaquer. Nous illustrerons aussi, sur quelques exemples concret, l’intérêt des approches topologiques pour l’analyse des données et l’apprentissage statistique.
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Agnès Gadbled
Titre : "Around Braid Groups" (mini-cours 1)
Résumé :
En mathématiques, les groupes de tresses ont la propriété remarquable de disposer de plusieurs définitions équivalentes de nature très différentes. Par exemple il existe une définition dite géométrique qui se rapproche de la description d'une tresse dans notre vie quotidienne. On peut également donner une définition algébrique via générateurs et relations, une définition à l'aide d'espaces de configurations qui utilise la notion de groupe fondamental, une définition comme groupe de difféotopie (à l'aide d'homéomorphismes du disque)... Dans ce mini-cours, nous parlerons de quelques unes de ces descriptions et des outils qui permettent de les définir. Si le temps le permet nous évoquerons comment ces groupes de tresses que l'on étudie depuis les années 1920 interviennent toujours dans certains thèmes de recherche actuels.
Cyril Marzouk
Titre : "Étude combinatoire et probabiliste d’arbres" (mini-cours 2)
Résumé :
Les arbres forment la famille de graphe la plus simple mais déjà très riche. Dans ce cours, nous verrons d'abord différents moyens d'énumérer ces objets, via des constructions astucieuses, des bijections ou encore l'étude de séries génératrices. Dans un second temps nous étudierons des modèles d'arbres aléatoires, notamment les célèbres arbres de Bienaymé–Galton–Watson qui représentent la généalogie d'une population, en tenant de (donner du sens et de) répondre à la question : à quoi ressemble un grand arbre aléatoire ?
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Luca Nenna
Titre : "Optimal Transport: Theory, Numerics and Applications" (mini-cours 3)
Résumé :
In this short course on Optimal Transport (OT) we introduce some basics of the theory: primal problem (know also as the Monge-Kantorovich problem), the dual and the cases in which we can characterise the solutions.
We then show how OT problem can be numerically solved by means of the entropic regularisation.
Finally we focus on some applications (depending on the time) in Quantum Mechanics, Statistics, Fluid Mechanics and Economy.
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Résumés 2019
Davide Barilari
Titre : “The geometry of the Heisenberg group"
Résumé: We will discover some properties of a geometry called "sub-Riemannian" by studying in detail its simplest model, the Heisenberg group. Sub-Riemannian geometry is the geometry of a space where the distance is computed as the infimum of the length of curves joining two points, but there is a restriction on the class of curves we can choose. We will mention also some links of this geometry with some models that are useful in applications, such as robotics, image reconstruction etc.
Gwladys Fernandes
Titre : "La quadrature du cercle"
Résumé : Une règle et un compas : quoi de mieux pour construire des figures géométriques ?! Mais peut-on tout construire grâce à ces seuls instruments ? L'exemple de l'impossibilité de la quadrature du cercle nous souffle que non. Au cœur de cette illusion déçue se dresse le nombre pi, qui a le mauvais goût d'être transcendant. Mais qu'est-ce qu'un nombre transcendant ? Et en quoi cela nous interdit-il de rêver à la quadrature du cercle ? C'est ce que nous découvrirons au cours de cet exposé.
Olivier Hénard
Titre : "Chemins NE du plan"
Résumé : Les chemins Nord Est du plan sont ceux qui ne peuvent que monter ou aller a droite. En tournant la tete de 45 degrés, ce sont aussi les marches simples de pas +/-1 bien connues des probabilistes. Parmi les chemins NE issues de (0,0) et qui terminent en (N,N) on énumérera ceux qui : restent au dessus de la diagonale, séparent le carré en deux parties d’aire égales. Les premiers sont liés aux chemins de Dyck et aux arbres plans enracinés, et les seconds aux partitions d’entiers. On donnera de nombreux problèmes qui se ramènent à l’étude de ces objects. Chemin faisant on évoquera le lemme du ballot, le lemme cyclique, la loi de l’Arcsinus ou encore la formule de Hardy-Ramanajuan, le fil rouge du cours étant l’entrelacement d’arguments probabilistes et combinatoires.
Flaviana Iurlano
Titre : "Une introduction à la Gamma-convergence et applications"
Résumé: Ce mini-cours se focalise sur l'une des notions les plus importantes apparues au cours des dernières décennies dans le calcul des variations, c'est-à-dire celle de la Gamma-convergence [De Giorgi '70]. Il s'agit d'une notion de convergence pour les suites de problèmes de minimum, qui s'est avérée être très naturelle et très flexible. En fait, elle peut être utilisée dans une grande variété de situations où une limite variationnelle intervient ou un processus d'approximation est nécessaire.
Après une présentation des principales propriétés de la Gamma-convergence, on verra des exemples d'applications : aux transitions de phase en Physique, à la segmentation d'images en Computer Vision et à la description de propriétés générales des matériaux composites en Ingénierie.
Frédéric Jean
Titre : "Contrôle optimal inverse : de Levi-Civita à la locomotion humaine”
Résumé: Une personne entre dans un gymnase par une porte et en sort par une autre, quel chemin a-t-elle choisi? Et est-ce qu'une métrique est définie par l'ensemble de ses géodésiques? Nous verrons que ces deux questions (et d'autres!) se formalisent comme des problèmes inverses en contrôle optimal. Nous donnerons les résultats connus sur ces problèmes et leurs applications à la fois en géométrie et en modélisation du vivant.
Julien Marché
Titre : "Invariants des formes binaires"
Résumé : Tout le monde connait le discriminant b^2-4ac d'un polynôme aX^2+bX+c: il permet de calculer les racines et de savoir si elles sont multiples, réelles ou complexes. Que se passe-t-il en degré supérieur ? Si on ne peut pas calculer les racines par radicaux on peut toutefois savoir beaucoup de choses en calculant les "invariants". J'expliquerai cette notion datant du milieu du 19ème siècle, son histoire a connu de nombreux rebondissements et n'est certainement pas terminée.
Milica Tomasevic
Titre : "Modélisation probabiliste en biologie : l'exemple des champignons filamenteux"
Résumé : La modélisation mathématique est devenue un outil de plus en plus utilisé dans l'analyse et la compréhension des phénomènes biologiques. Les modèles mathématiques aident à quantifier et simuler des évolutions de systèmes biologiques. Ces modèles permettent aussi de sélectionner les facteurs les plus importants et de proposer des lois macroscopiques à partir de descriptions à l’échelle individuelle. Réciproquement, la biologie donne naissance à des défis mathématiques nouveaux, exigeants du point de vue théorique et du point de vue numérique. En raison des fortes variabilités individuelles et environnementales ainsi que des incertitudes au cours de l'acquisition des données, les modèles probabilistes sont très naturels. Le but de cet exposé est d'illustrer les liens fructueux entre biologie et probabilités par un exemple en mycologie. Afin d’étudier les capacités de communication et de partage des ressources lors du développement du "thalle" (ou réseau de filaments) d'un champignon filamenteux, nous présenterons et expliquerons un système de particules stochastiques caractérisées par leur type et leur taille. Selon le type, les particules peuvent croître, brancher et/ou se fragmenter. Nous discuterons les principales difficultés de l'analyse théorique de ce modèle. Ensuite, nous étudierons le modèle macroscopique associé : une équation dite de croissance et fragmentation. Enfin, nous aborderons certaines des questions ouvertes.
Maxime Wolff
Titre : "Groupes d'homéomorphismes du cercle"
Résumé : Le groupe des homéomorphismes du cercle admet une grande richesse de sous-groupes différents : groupes fuchsiens, groupes de Thompson, certains groupes fondamentaux de variétés de dimension trois, etc. Après avoir passé en revue un peu de cette zoologie, je présenterai quelques résultats, plus ou moins récents, qui indiquent comment la structure algébrique du groupe Diff_+^r(S^1) varie avec r>0.
Résumés 2018
Résumé présentation FMJH
Résumé : Les publications scientifiques
Simeng Wang
Titre : "Probabilités quantiques et la théorie ergodique non commutative"
Résumé : L'analyse non commutative, très vaguement, s'inscrit dans une démarche générale des mathématiques récentes qui trouve ses origines dans la physique quantique, et qui consiste à tenter de développer des analogues non commutatifs de l'analyse classique. L’idée générale est de remplacer les fonctions par des opérateurs (qui ne commutent pas nécessairement) sur un espace de Hilbert. Cette démarche a connu une interaction profonde des théories des espaces d'opérateurs et des probabilités quantiques, grâce aux outils développés par Pisier, Junge, Xu, etc. En particulier les versions non commutatives de plusieurs théorèmes ergodiques (tels que le théorème de Birkhoff) ont été étudiées avec grand succès ces dernières décennies. Cet exposé sera un aperçu général sur cette démarche, en mettant l'accent sur les progrès récents de la théorie ergodique non commutative.
Valentina Franceschi
Titre : "Quelle est la forme des bulles de savon?"
Résumé : "Quelle est la forme des bulles de savon ?" La réponse apparaît à la portée de chaque enfant : elles sont des sphères. La raison est que, parmi toutes les formes qui contiennent une quantité d’aire fixée, les sphères ont périmètre minimal. D’un point de vue mathématique, cette réponse cache des concepts très complexes : la formalisation du problème n’est apparue qu’au siècle dernier, grâce au travail de grands mathématiciens qui nous ont permis une compréhension profonde des objets “optimaux” dans l’espace où nous vivons. Dans cet exposé, je vous présenterai la complexité des bulles de savon au travers de quelques exemples physiques et je vous parlerai de mes recherches dans ce cadre. En particulier, mes études visent à répondre à la question suivante: "Comment la forme d'une bulle de savon est-elle influencée par la géométrie de l'espace dans lequel elle vit.
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Guillaume Lévy
Titre : "Fourier, en quête de l'explicite"
Résumé: Les séries (et la transformée) de Fourier sont des outils très commodes pour comprendre les équations aux dérivées partielles. Elles permettent par exemple, lorsque l'équation est suffisamment simple, d'exprimer les solutions sous une forme complètement explicite. Pour des équations "un peu moins simples", on peut tout même comprendre d'importantes informations qualitatives des solutions en étudiant en détail les coefficients de Fourier. Une question naturelle se pose alors : quelles conclusions peut-on encore tirer lorsque l'équation est écrite "ailleurs", dans un espace non euclidien ? Avant même de pouvoir répondre à cette question, il faut comprendre ce que devient la théorie de Fourier hors du cadre familier du tore et de l'espace euclidien. Je détaillerai deux exemples d'équations accessibles en fin de L3, puis je donnerai un aperçu du cadre non commutatif où la complexité des calculs se fait rapidement sentir.
Pierre-Antoine Guihéneuf
Titre : "Dynamique topologique typique sur les surfaces"
Résumé : Dans ce mini-cours j'essaierai de relier ce que j'ai appris en M2 à Orsay avec mes thèmes de recherche actuels. On parlera de dynamique, et plus précisément de suites récurrentes définies par la relation u_{n+1} = f(u_n), où u_n représente l'état du système au temps n, et f est la loi d'évolution du système. La question est de savoir quel est le comportement asymptotique de la suite u_n lorsque la fonction f est générique dans un espace de fonctions donné. Dans notre cas, cet espace sera l'ensemble des homéomorphismes du tore ^2 Tpréservant l'aire, et on verra que cela permet d'utiliser des outils spécifiques à la dimension 2.
Benoît Perthame
Titre : "Turing et les formes dans la nature"
Résumé: Alan Turing est bien connu pour le décryptage de la machine Enigma durant le Seconde Guerre Mondiale et pour ses travaux qui fondent l'informatique scientifique. Toutefois en 1952, deux ans avant son suicide, il publie un article mathématique tout à fait décisif qui décrit un méchanisme surprenant expliquant l'apparition de formes durant la morphogenèse du vivant. Il y introduit le concept de morphogène, une notion alors inconnue, et sa théorie ne sera reproduite expérimentalement que bien plus tard. Les structures de Turing s'observent dans de nombreux phénomènes naturels.
Tony Yue Yu
Titre : "Infinies catégories et déformations"
Résumé : Je donnerai une introduction à la théorie des déformations d’un point de vue infinie-catégorique. L’idée centrale est que tout problème de déformation formel est contrôlé par une algèbre de Lie différentielle graduée. Je vais commencer par des exemples classiques, comme déformations des algèbres associatives, déformations des structures complexes, etc. J’introduirai aussi des notions de base de la théorie des infinies catégories suivant Lurie.
Résumés 2017
Camille HORBEZ
"Automorphismes de groupes libres, marches aléatoires, croissance" : Le mini-cours sera à l'interface de la théorie géométrique des groupes, qui cherche notamment à comprendre les propriétés algébriques d'un groupe (infini dénombrable) à partir de l'étude géométrique d'espaces sur lesquels il agit, et de la théorie des marches aléatoires sur les groupes. Des résultats classiques remontant aux travaux de Furstenberg décrivent la croissance typique de la norme d'un vecteur de R^n sous l'application d'un produit aléatoires de matrices. Autrement dit, si (A_i) est une suite de matrices dans GL_n choisies indépendamment au hasard suivant une loi de probabilité sur GL_n, on comprend (sous de bonnes hypothèses sur la loi de probabilité) la croissance typique de ||A_k...A_1(v)|| lorsque k tend vers l'infini. L'objectif du mini-cours sera d'étudier un analogue de ce problème dans un cadre non linéaire. Soit F_n un groupe libre, qu'on peut définir comme l'ensemble des mots réduits sur un alphabet formé de n lettres a_1,...,a_n et de leurs inverses formels. La longueur d'un élément est définie comme le nombre de lettres qui le composent. Le but sera de comprendre la croissance typique de la longueur d'un élément du groupe libre sous l'application d'un produit aléatoire d'automorphismes du groupe libre. Le cours commencera par une introduction aux groupes libres et à leurs automorphismes. Puis je présenterai l'outre-espace de Culler et Vogtmann, un espace muni d'une action naturelle du groupe Out(F_n) des automorphismes extérieurs de F_n. Nous verrons comment la question de la croissance sous un produit aléatoire d'automorphismes se réinterprète en un problème portant sur la marche au hasard dans l'outre-espace. Nous conclurons alors en utilisant un théorème de Karlsson et Ledrappier, qui donne un énoncé général portant sur des marches aléatoires sur des espaces métriques.
Mohab SAFEY EL DIN
"Comment lancer des fusées avec des polynômes?" : Concevoir des missions à bas coût pour aller sur la Lune est un défi actuel pour la conquête spatiale. L'objectif de ces missions est de permettre la construction d'une base sur la Lune à partir de laquelle les missions pour Mars partiraient. De nombreux problèmes doivent être résolus pour atteindre cet objectif ; mathématiquement, ils relèvent de la théorie du contrôle optimal, l'optimisation polynomiale et le calcul formel. Il se réduisent à résoudre des problèmes algorithmiques en algèbre non-linéaire où calculer efficacement et de manière robuste avec des polynômes est crucial. On utilise pour cela des techniques de calcul formel. Dans cet exposé, on introduira certains de ces problèmes, les méthodes actuellement utilisées pour les résoudre ainsi que les défis actuels à relever pour aller plus loin.
Ilaria MONDELLO
"Espaces métriques et convergence de Gromov-Hausdorff": Une des branches des mathématiques qui s'est le plus développée au cours du vingtième siècle est la géométrie, entre autres grâce à ses fructueuses interactions avec l'analyse (géométrie différentielle) et l'algèbre (géométrie algébrique). On peut citer à titre d'exemple la démonstration de la conjecture de Poincaré par G. Perelman, ou les travaux de A. Grothendieck. Il n'est pas facile d'approcher ces thèmes à la sortie d'une licence en mathématiques. Mais certaines notions géométriques peuvent être encodées dans la façon dont on mesure les distances sur un objet (ou dans un espace), c'est-à- dire dans sa structure métrique. La notion de métrique est une des plus élémentaires des mathématiques, mais de façon assez surprenante, étudier les métriques permet d'aller plutôt loin, par exemple en définissant une notion de courbure sans se servir d'une structure différentielle, ou en fournissant le cadre approprié pour étudier la convergence d'espaces. Le but de ce cours est de donner une introduction à la convergence de Gromov- Hausdorff pour les espaces métriques. La topologie de Gromov-Hausdorff a une grande importance dans plusieurs domaines de la géométrie actuelle : par exemple, trouver une classe d'espaces métriques "courbés" qui soit fermée par rapport à la topologie de Gromov-Hausdorff a été une des motifs à l'origine de la théorie de la courbure-dimension élaborée par J. Lott, K-T. Sturm et C. Villani. Malgré le peu de prérequis nécessaires à la compréhension de la convergence de Gromov-Hausdorff, cela fait rarement l'objet d'un cours de Master. Nous allons profiter de ces journées de rentrée pour apprendre les notions fondamentales concernant la topologie de Gromov-Hausdoff. Nous commencerons par quelques rappels et notions de base sur les espaces métriques ; quelques exemples informels nous permettront de motiver l'étude des limites d'espaces métriques et de se familiariser avec l'idée de convergence. Nous introduirons ensuite les distances d'Hausdorff et Gromov-Hausdorff, pour terminer avec un théorème de compacité pour une classe d'espaces métriques compacts.
Ilia ITENBERG
"Patchwork combinatoire et géométrie tropicale" : On parlera de courbes algébriques dans le plan réel et d'une construction combinatoire qui permet de recoller des courbes algébriques à partir de morceaux qui sont, essentiellement, des droites. Cette construction est directement liée à la géométrie tropicale, un domaine mathématique relativement nouveau qui peut être vue comme géométrie algébrique basée sur deux opérations arithmétiques étranges dans R : la somme tropicale de deux nombres réels est leur maximum, et le produit tropical est la somme habituelle.
Luca CALATRONI
"Problèmes inverses et imagerie : ce que les images ne nous disent pas": Les images sont aujourd'hui un moyen très utilisé pour représenter des informations dans plusieurs disciplines appliquées comme la médecine, l'astronomie, la biologie etc.
La formulation mathématique d'un problème général d’imagerie sous la forme générale de problème inverse peut aider à analyser et à étudier certaines tâches d'imagerie en manière rigoureuse et peut également favoriser leur réalisation pratique via des solveurs numériques efficaces. À partir d'une image imparfaite, on peut donc récupérer les informations cachées dans l’image.
Cette exposé sera un aperçu général sur les problèmes plus courants dans l'imagerie et sur la leur formulation et solution mathématique au moyen d'outils tels que le calcul des variations, l'analyse convexe et les EDPs. Des progrès plus récents sur le sujet avec des questions ouvertes difficiles seront également discutés.
Lucas GERIN